РОЗДІЛ 1. МАТРИЦІ ТА ВИЗНАЧНИКИ. крамерові СИСТЕМИ РІВНЯНЬ. Вступ. При початковому знайомстві з лінійною алгеброю можна вважати, що одним з основних об’єктів вивчення в лінійній алгебрі є система лінійних алгебраїчних рівнянь
(1) відносно якої необхідно з’ясувати такі питання: 1) при яких умовах система (1) має розв’язки (система сумісна), а при яких не має розв’язків; 2) при яких умовах система (1) має єдиний розв’язок та конструювання методів його знаходження; 3) при яких умовах система (1) має не єдиний розв’язок та опис всіх розв’язків у прийнятній формі. Для всебічного вивчення цих задач необхідний певний інструментарій – теорія матриць, теорія визначників і т.д. Для побудови теорії визначників, зокрема, зручно скористатися поняттями перестановки та підстановки. У перших чотирьох параграфах цього розділу подаються основні поняття теорії матриць, розглядаються основні властивості перестановок і підстановок та будується теорія визначників. В останньому, п’ятому, параграфі розглядаються найважливіші методи розв’язування системи (1) при умові, що система має єдиний розв’язок. Питання сумісності системи (1) та проблема знаходження всіх її розв’язків у випадку, коли система має не єдиний розв’язок, розглядаються у наступних розділах. §1. Матриці. 1. Основні поняття та означення. Матрицею називається прямокутна таблиця, заповнена деякими величинами, які будемо називати елементами матриці. Як правило, елементи матриці позначають однією літерою з двома індексами, де перший індекс визначає номер рядка, в якому міститься даний елемент, а другий – номер стовпчика. Наприклад,
- елемент матриці, який лежить на перетині сьомого рядка та четвертого стовпчика. Звідси,
- матрицю, тобто матрицю, яка має
рядків та
стовпчиків, в загальному вигляді можна записати так
. Матриці позначають великими латинськими літерами, а також часто вживають скорочений запис
. Якщо
, то матриця називається квадратною матрицею
-го порядку і має вигляд
. (2) Діагональ квадратної матриці, яка складається з елементів
, називається головною діагоналлю. Якщо всі елементи матриці, крім елементів головної діагоналі, є нулями, то матриця називається діагональною. Якщо в діагональній матриці всі елементи головної діагоналі – одиниці, то матриця називається одиничною і позначається літерою
, або літерою
. Матриця, всі елементи якої є нулями, називається нульовою матрицею і позначається літерою
. Якщо рядки будь-якої матриці
записати стовпчиками, або, що те саме, стовпчики – рядками, то отримана матриця називається транспонованою до матриці
і позначається
. Зазначимо, що на перетині
-того рядка та
-того стовпчика матриці
стоїть елемент
. Іншими словами, якщо
,
, то
. 2. Символ
. Для скороченого запису суми
використовується позначення
, так що
; при цьому
називається знаком суми, а індекс
називається індексом сумування. Легко перевірити, що для знака суми
справджуються такі властивості. 10. Індекс сумуваня можна змінювати:
20. Множник, який не залежить від індекса сумування, можна винести за знак суми:
. 30.
. 40. Два знаки суми, які стоять поруч, можна переставити місцями:
. Для доведення цієї властивості досить знайти суму
елементів
- матриці
двома способами. Спочатку для кожного рядка матриці знайдемо суму елементів цього рядка, а потім просумуємо знайдені величини:

Повторивши такі самі міркування для стовпчиків матриці
, отримаємо
Звідси,
3. Додавання матриць. Сумою двох
- матриць
та
називається
- матриця
, кожен елемент якої обчислюється як сума відповідних елементів матриць
та
за формулою
,
,
. Сума матриць
та
позначається
. У розгорненому вигляді для матриць
,

. Наголосимо, що операція додавання матриць визначається лише для матриць однакової розмірності – обидві матриці-доданки повинні мати однакову кількість рядків і рівне чи...